, d2
, и так далее).
Во-вторых, примем соглашение, что всякий базисный тип считается типом.
В-третьих, условимся, что если a и b считаются типами, то функция из a в b также считается типом и при этом имеет тип a>b.
Заметим, что в основе теории типов лежит принцип иерархичности, который заключается в том, что производные типы содержат базисные как подмножества.
Этот принцип построения справедлив и для языков программирования. В частности, иерархии классов в объектно-ориентированных языках программирования формируются аналогично приведенному выше построению математической системы типов.
Для иллюстрации построения теории типов расширим комбинаторную логику операцией приписывания типа.
Напомним аксиомы комбинаторной логики, задающие свойства отношения конвертируемости:
(I) Ix = x; (K) Kxy = x; (S) Sxyz = xz(yz).
Аксиома (I) означает существование комбинатора (функции) тождества, т.е. наличие тождественного преобразования, при котором любой аргумент отображается сам в себя.
Аксиома (K) означает существование комбинатора (функции) взятия первой проекции, т.е. первого элемента упорядоченной пары или первого элемента списка. Интуитивно ясно, что эта аксиома близка языкам функционального программирования, оперирующим списками, и соответствует фундаментальной операции взятия головного (первого) элемента списка.
Оказывается, что комбинаторная логика обладает возможностью не только моделировать процесс реализации программного обеспечения на языке функционального программирования, но и прозрачно формализовать процедуру приписывания типов объектам этого языка.
Под типом (сортом) будем понимать относительно устойчивую и независимую совокупность элементов, которую можно выделить во всем рассматриваемом множестве (предметной области).